§8.4  双曲线的几何性质（第1课时） ㈠课时目标 1. 熟悉双曲线的几何性质。2. 能理解离心率的大小对双曲线形状的影响。3. 能运用双曲线的几何性质或图形特征，确定焦点的位置，会求双曲线的标准方程。㈡教学过程  [情景设置]    叙述椭圆 的几何性质，并填写下表：方程性质          

图像 （略） 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b 对称性 对称轴、对称中心 顶点 （±a,0）、（±b,0） 离心率 e=(几何意义)

 [探索研究] 1.类比椭圆 的几何性质，探讨双曲线 的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。   双曲线的实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长及离心率的定义。双曲线与椭圆的几何性质对比如下：     方程性质          

图像 （略）  （略）范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b x≥a,或x≤-a,y∈R对称性 对称轴、对称中心 对称轴、对称中心顶点 （±a,0）、（±b,0） （-a,0）、（a,0）离心率 0＜e=＜1e=＞1

下面继续研究离心率的几何意义：（a、b、c、e关系：c2=a2+b2, e=＞1）2.渐近线的发现与论证根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（能）根据上述双曲线的四个性质，能较为准确地把 画出来吗？（不能）通过列表描点，能把双曲线的顶点及附近的点，比较精确地画出来，但双曲线向何处伸展就不很清楚。我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么？（因为当双曲线伸向远处时，它与x轴、y轴无限接近）此时，x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线。问：双曲线 有没有渐近线呢？若有，又该是怎样的直线呢？引导猜想：在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程可解出：y=± =± 当x无限增大时， 就无限趋近于零，也就是说，这是双曲线y=± 与直线y=± 无限接近。这使我们猜想直线y=± 为双曲线的渐近线。直线y=± 恰好是过实轴端点A1、A2，虚轴端点B1、B2，作平行于坐标轴的直线x=±a, y=±b所成的矩形的两条对角线，那么，如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时，与渐近线越来越接近呢？显然，只要考虑第一象限即可。证法1：如图，设M（x0,y0）为第一象限内双曲线 上的仍一点，则y0=  ，M（x0,y0）到渐近线ay-bx=0的距离为：∣MQ∣=  =

                  =   .      点M向远处运动， x0随着增大，∣MQ∣就逐渐减小，M点就无限接近于 y=故把y=± 叫做双曲线 的渐近线。3.离心率的几何意义∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===e越小（接近于1） 越接近于0，双曲线开口越小（扁狭） e越大 越大，双曲线开口越大（开阔） 4.巩固练习   求下列双曲线的渐近线方程，并画出双曲线。        ①4x2-y2=4       ②4x2-y2=-4     已知双曲线的渐近线方程为x±2y=0，分别求出过以下各点的双曲线方程         ①M（4， ）   ②M（4， ）[知识应用与解题研究]例 1   求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2    双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转而成的曲面，如图；它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）㈣提炼总结1. 双曲线的几何性质及a、b、c、e的关系。2. 渐近线是双曲线特有的性质，其发现证明蕴含了重要的数学思想与数学方法。3. 双曲线的几何性质与椭圆的几何性质类似点和不同点。                                                     

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