导 数 的 概 念

导   数   的   概   念

人教社·普通高级中学教科书（选修ⅱ）

第三章第一节《导数的概念》（第三课时）导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想办法，这种思想办法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图 《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；简介导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.进而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用  “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的办法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的办法是今后全面研究微积分的重要办法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析 知识主体结构的比较和知识的迁移类例如下表：表1.  知识主体结构比较

对  象

内  容

本  质

符号语言

数学思想

现有

认知

结构

曲线

y=f(x)

切线的斜率

割线斜率的极限

极限思想

物体运动规律

s=s(t)

物体的瞬时

速度

平均速度的极限

极限思想

函数思想

最近

发展

区

函数

y=f(x)

导函数

（导数）

平均变化率的极限

极限思想

函数思想表2.  知识迁移类比（导数像速度）

已有认知结构

最近发展区

相似点

物体在t0时刻的速度

函数f(x)在x0处的导数

特指

常数

物体的任意时刻t的速度

函数f(x)在开区间内

泛指

是函数（变量）

瞬时速度

↓

一般说成速度

导函数

↓

一般说成导数

名称对应

泛指

v=v(t)

关系对应

v0=v|t=t0

求法对应

位移对时间的变化率

函数对自变量的变化率

本质对应通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比办法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程.难点：对导数概念的理解.为啥这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x0可导→f(x)在开区间（ ，b）内可导→f(x)在开区间（ ，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个啥东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率 的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率 的极限,是f(x)在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间（ ，b）内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数. （4）y= f(x)在x0处的导数就是导函数 在x=x0处的函数值，表示为 这也是求f′(x0)的一种办法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好办法就是类比！用“速度与导数”进行类比.共6页，当前第1页123456

导 数 的 概 念

引导激趣

概括抽象

互动导标

类比拓展

分层作业

引导小结

回归体验

概念导析3.1 引导激趣设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个Lenovo的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.问题：割线的变化过程中，①△x与△y有啥变化？② 有啥含义？③ 在△x→0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x0处可导的定义，完成“导数”概念的第一层次.

曲线的切线的斜率

抽象 舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限   即

f′(x0)= = （在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）3.3 互动导标设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，进而找到推进解决问题的线索——提出：f(x)在开区间（ ，b）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次..①研究：函数y=2x+5在下列各点的变化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3②研究：函数y=x2 在下列各点的变化率： （1）x=1，（2）x=2，（3）x=3定义：函数f(x)在开区间( ，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间( ，b)内可导.3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想.让学生产生Lenovo，拓展出：f(x)在开区间（ ，b）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t0的速度：   

物体在时刻t的速度  新认知：函数f(x)在开区间( ，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间( ，b)内可导.

                点拨：映射→函数对于（ ，b）内每一个确定的值x0，对应着一个确定的导数值 ，这样就在开区间（ ，b）内构成一个新函数

             导函数（导数）共6页，当前第2页123456

导 数 的 概 念

导 数 的 概 念

启                                            接

发                                            受

|                     问题                    |

诱                   组  推                  探

导                   织  动                  究|                                             |

激                                           完

励                                           成

 可接受原则                 认知规律4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x，△y      和 ,       ——引导学生用函数的思想去认识f′(x0)向 f′(x)拓展的过程.共6页，当前第4页123456

导 数 的 概 念

§3.1.3  导数的概念              （主线）                                                             1. 定义：函数y=f(x)在x0处可导                            ①研究                                                     ②研究                                                                          辨析  2. 定义：函数y=f(x)在（ ，b）可导                        例题a组：                         &nb sp;                                例题b组： 3. 定义：函数y=f(x)在（ ，b）内的导函数（导数）  4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（ ，b）内的导数的办法            比较与鉴别共6页，当前第5页123456

导 数 的 概 念

几点说明.此次说课有如下几个基本的特点.1.“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想.对学生学习与发展的关系作了认真思考.强调学生的“经历”，“体会”，“感受”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求.2.在难点的突破上采取了有效的分解策略.2.1.通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分利用挖掘教材的背景材料，找准了“瞬时速度”与“导函数”，“速度”与“导数”的类比，为学生对导数的理解创设了先机，打开学生从情感上认可和接受“导数”的通道. 2.2.对导数概念中的几个“重要的关键词”的理解作了恰当的引导和作了精准的导析，搞清它们之间的区别和联系，才能使学生真正的理解“导数”，为学生同化“导数的概念”指明了方向.2.3.在过程分析中设计了“回归体验”，强调注重学生对新知的体验，突出了导数的应用价值，有利于实现情感目标，加快了学生同化概念的进程.2.4.在引导学生小结的过程中，考察学生是否突破了难点，以便进行及时的纠正和补充，分层作业中专门设计突破难点的习题，使突破难点得到了保证.3.形式和内容得到统一，具有很强的操作性. 3.1.通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教啥？”--设计中明确指出了知识、能力、情感方面的三维目标；选择了较为恰当的支架过程教法并设计了有操作性的，说出了“怎么教”的具体措施. 教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养.既不高估学生的理解力，也不抹杀学生所具有创造性.3.2.在教学的第一环节借助了多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透极限思想，为抽象出导数的概念做了积极的准备，这是传统的黑板和粉笔难以做到的.共6页，当前第6页123456

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