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证明

  §1.1、你能证明它们吗(一)

一、教学目标:

1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

二、教学重点:了解作为证明基础的几条公理的内容,通过等腰三角形性质证明,掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点:能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理(特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法)。

三、教学方法:观察法。

四、教学过程:

复习:

1、什么是等腰三角形?

2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?

新课讲解:

在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

w        本套教材选用如下命题作为公理 :

w        1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

w        2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

w        3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; (sas)

w        4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (asa)

w        5.三边对应相等的两个三角形全等; (sss)

w        6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论:

推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(aas)

证明过程:

已知:∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef

求证:△abc≌△def

证明:∵∠a+∠b+∠c=180°,

∠d+∠e+∠f=180°

(三角形内角和等于180°)

∴∠c=180°-(∠a+∠b)

∠f=180°-(∠d+∠e)

又∵∠a=∠d,∠b=∠e(已知)

∴∠c=∠f

又∵bc=ef(已知)

∴△abc≌△def(asa)

(这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步骤,为下面的推理证明做准备。)

议一议:

(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?(教师提出问题,并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。学生充分讨论问题1,借助等腰三角形纸片回忆有关性质。)

(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?

(等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过,这里先让学生尽可能回忆出来,然后再考虑哪些能够立即证明。)

定理:等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为:等边对等角。

已知:如图,在abc中,ab=ac。

求证:∠b=∠c

(引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”,重点引导学生做辅助线,将等腰三角形分成两个全等的三角形: 我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。能否通过作一条线段,得到两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等呢?)

证明:取bc的中点d,连接ad。

∵ab=ac,bd=cd,ad=ad,

∴△abc△≌△acd  (sss)

∴∠b=∠c (全等三角形的对应边角相等)

(让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。做∠bac的平分线,交bc边于d;过点a做ad⊥bc。。学生指出该定理的条件和结论,写出已知、求证,画出图形,并选择一种方法进行证明。)

想一想:

在上图中,线段ad还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?

(应让学生回顾前面的证明过程,思考线段ad具有的性质和特征,讨论图中存在的相等的线段和相等的角,发现等腰三角形性质定理的推论,从而得到结论,这一结合通常简述为“三线合一”。)

推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习:

做教科书第4页第1,2题。(引导学生分析证明方法,学生动手证明,写出证明过程。)

课堂小结:

通过这节课的学习你学到了什么知识?

(学生小结:通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。探体会了反证法的含义。)

五、作业:

1、基础作业:p5页习题1.1  1、2。

    2、拓展作业:《目标检测》

3、预习作业:p5-6页  议一议

六、板书设计:

§1.1、你能证明它们吗(一)

公理:sas  

asa                                                       

sss  

推论:aas

      三线合一

对应相等的两个三角形全等。

(aas)

七、课后记:

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