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高二数学教学工作计划1
一、学情分析
1班共有学生75人,2班共有学生72人。2班学习数学的气氛较浓,但由于高一函数部分基础特别差,对高二乃至整个高中的数学学习有很大的影响,数学成绩尖子生多或少,但若能杂实复习好函数部分,加上学生又很努力,将来前途无量。若能好好的引导,进一步培养他们的学习兴趣。
二、教学目标
(一)情意目标
(1)提供生活背景,使学生体验到不等式、直线、圆、圆锥曲线就在身边,培养学数学用数学的意识。
(2)通过分析问题的方法的教学、通过不等式的一题多解、多题一解、不等式的一题多证,培养学生的学习的兴趣。
(3)在探究不等式的`性质、圆锥曲线的性质,体验获得数学规律的艰辛和乐趣,在分组研究合作学习中学会交流、相互评价,提高学生的合作意识
(4)基于情意目标,调控教学流程,坚定学习信念和学习信心。
(5)还时空给学生、还课堂给学生、还探索和发现权给学生,给予学生自主探索与合作交流的机会,在发展他们思维能力的同时,发展他们的数学情感、学好数学的自信心和追求数学的科学精神。
(6)让学生体验发现挫折矛盾顿悟新的发现这一科学发现历程的幻妙多姿
(二)能力要求
1、培养学生记忆能力。
(1)在对不等式的性质、平均不等式及思维方法与逻辑模式的学习中,进一步培养记忆能力。做到记忆准确、持久,用时再现得迅速、正确。
(2)通过定义、命题的总体结构教学,揭示其本质特点和相互关系,培养对数学本质问题的背景事实及具体数据的记忆。
(3)通过揭示解析几何有关概念、公式和图形直观值见的对应关系,培养记忆能力。
2、培养学生的运算能力。
(1)通过解不等式及不等式组的训练,培养学生的运算能力。
(2)加强对概念、公式、法则的明确性和灵活性的教学,培养学生的运算能力。
(3)通过解析法的教学,提高学生是运算过程具有明晰性、合理性、简捷性能力。
(4)通过一题多解、一题多变培养正确、迅速与合理、灵活的运算能力,促使知识间的滲透和迁移。
(5)利用数形结合,另辟蹊径,提高学生运算能力。
3、培养学生的思维能力。
(1)通过含参不等式的求解,培养学生思维的周密性及思维的逻辑性。
(2)通过解析几何与不等式的一题多解、多题一解、通过不等式的一题多证,培养思维的灵活性和敏捷性,发展发散思维能力。
(3)通过不等式引伸、推广,培养学生的创造性思维。
(4)加强知识的横向联系,培养学生的数形结合的能力。
(5)通过解析几何的概念教学,培养学生的正向思维与逆向思维的能力。
(6)通过典型例题不同思路的分析,培养思维的灵活性,是学生掌握转化思想方法。
4、培养学生的观察能力。
(1)在比较鉴别中,提高观察的准确性和完整性。
(2)通过对个性特征的分析研究,提高观察的深刻性。
(三)知识要求
1、掌握不等式的概念、性质及证明不等式的方法,不等式的解法;
2、通过直线与圆的教学,使学生了解解析几何的基本思想,掌握直线方程的几种形式及位置关系,掌握简单线性规划问题,掌握曲线方程、圆的概念。
3、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、图形及性质。
三、教材分析
1、不等式的主要内容是:不等式性质、不等式证明、不等式解法。
不等式性质是基础,不等式证明是在其基础上进行的;不等式的解法是在这一基础上、依据不等式的性及同解变形来完成的。不等式在整个高中数学中是一个重要的工具,是培养运算能力、逻辑思维能力的强有力载体。2、直线是最简单的几图形,是学习圆锥曲线、导数和微分等知识的的基础。
,是直线方程的一个直接应用。主要内容有:直线方程的几种形式,线性规划的初步知识,两直线的位置关系,圆的方程;斜率是最重要的概念,斜率公式是最重要的公式,直线与圆是数形结合解析几何相互为用思想的载体。3、圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,简单几何性质,以及它们在实际中的一些运用。
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的方程,并通过分析标准方程研究它们的性质。四、重点与难点
(一)重点
1、不等式的证明、解法。
2、直线的斜率公式,直线方程的几种形式,两直线的位置关系,圆的方程。
3、椭圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程,简单几何性质。
(二)难点
1、含绝对值不等式的解法,不等式的证明。
2、到角公式,点到直线距离公式的推导,简单线性规划的问题的解法。
3、用坐标法研究几何问题,求曲线方程的一般方法。
五、教学措施
1、教学中要传授知识与培育能力相结合,充分调动学生学习的主动性,培育学生的概括能力,是学生掌握数学基本方法、基本技能。
2、坚持与高三联系,切实面向高考,以五大数学思想为主线,有目的、有计划、有重点,避免面面俱到,减轻学生的学习负担。
3、加强教育教学研究,坚持学生主体性原则,坚持循序渐进原则,坚持启发性原则。
研究并采用以发现式教学模式为主的教学方法,全面提高教学质量。4、坚持学法研讨,加强个别辅导(差生与优生),提高全体学生的整体数学水平,培育尖
子学生。5、加强数学研究课的教学研究指导,培养学识的动手能力。
6、积极参加与组织集体备课,共同研究,努力提高授课质量
7、坚持向同行听课,取人所长,补己之短。
相互研究,共同进步。六、课时安排
本学期共81课时
1、不等式18课时
2、直线与圆的方程25课时
3、圆锥曲线20课时
高二数学教学工作计划2
教学目标:
1.知识与技能目标:
(1)了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法;
(2)通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习,更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法,并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
2.过程与方法目标:
(1)改变解决问题的思路,要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法,提高逻
辑思维能力;
(2)学会借助实例分析,探究数学问题。
3.情感与价值目标:
(1)通过学生的主动参与,师生,生生的合作交流,提高学生兴趣,激发其求知欲,培养探索精神;
(2)体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强爱国主义情怀。
教学重点与难点:
重点:了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点:体会算法案例中蕴含的算法思想,利用它解决具体问题。
教学方法:
通过典型实例,使学生经历算法设计的全过程,在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构,学会有条理地思考问题、表达算法,并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程:
教学
环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设 情境
引入新课 引导学生回顾
人们在长期的生活,生产和劳动过程中,创造了整数,分数,小数,正负数及其计算,以及无限逼近任一实数的方法,在代数学,几何学方面,我国在宋,元之前也都处于世界的前列。我们在小学,中学学到的算术,代数,从记数到多元一次联立方程的求根方法,都是我国古代数学家最先创造的。更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色,也就是“寓理于算”,即把解决的问题“算法化”。本章的内容是算法,特别是在中国古代也有着很多算法案例,我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。
教师引导,学生回顾。
教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识,共同创设情景,引入新课。
通过对以往所学数学知识的回顾,使学生理清知识脉络,并且向学生指明,我国古代数学的发展“寓理于算”,不同于西方数学,在今天看仍然有很大的优越性,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强爱国主义情怀。
阅读课本 探究新知
1.求两个正整数最大公约数的算法
学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数:
例1:求78和36的最大公约数
(1) 利用辗转相除法
步骤:
计算出78 36的余数6,再将前面的除数36作为新的被除数,36 6=6,余数为0,则此时的除数即为78和36的最大公约数。
理论依据: ,得 与 有相同的公约数
(2) 更相减损之术
指导阅读课本P ----P ,总结步骤
步骤:
以两数中较大的数减去较小的数,即78-36=42;以差数42和较小的数36构成新的一对数,对这一对数再用大数减去小数,即42-36=6,再以差数6和较小的数36构成新的一对数,对这一对数再用大数减去小数,即36-6=30,继续这一过程,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数
即,理论依据:由 ,得 与 有相同的公约数
算法: 输入两个正数 ;
如果 ,则执行 ,否则转到 ;
将 的值赋予 ;
若 ,则把 赋予 ,把 赋予 ,否则把 赋予 ,重新执行 ;
输出最大公约数
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
while ab
if a>=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
学生阅读课本内容,分析研究,独立的解决问题。
教师巡视,加强对学生的个别指导。
由学生回答求最大公约数的两种方法,简要说明其步骤,并能说出其理论依据。
由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法,并编出简单程序。
教师将两种算法同时显示在屏幕上,以方便学生对比。
教师将程序显示于屏幕上,使学生加以了解。 数学教学要有学生根据自己的经验,用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。这种再创造积累和发展到一定程度,就有可能发生质的飞跃。在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境,让学生有充分的时间和空间去观察,分析,动手实践,从而主动发现和创造所学的数学知识。
求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点,用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识,,强调了提供典型实例,使学生经历算法设计的全过程,在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构,学会有条理地思考问题、表达算法,并能将解决问题的过程整理成程序框图。为了能在计算机上实现,还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语言的内容。总的来说,不追求形式上的严谨,通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
高二数学教学工作计划3
本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题:(1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标.①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.
②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 及 ;已知 求 时,也要进行分类;
③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整体思想求解.
(4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.
一、基本概念:
1、数列的定义及表示方法:
2、数列的项与项数:
3、有穷数列与无穷数列:
4、递增(减)、摆动、循环数列:
5、数列的通项公式an:
6、数列的前n项和公式Sn:
7、等差数列、公差d、等差数列的结构:
8、等比数列、公比q、等比数列的结构:
二、基本公式:
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:an=
10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时,an是关于n的一次式;当d=0时,an是一个常数。11、等差数列的前n项和公式:Sn=
Sn= Sn=当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a10),Sn=na1是关于n的正比例式。
12、等比数列的通项公式:
an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an0)
13、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n
a1 (是关于n的正比例式);当q1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
- S3m、仍为等差数列。15、等差数列中,若m+n=p+q,则
16、等比数列中,若m+n=p+q,则
17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
- S3m、仍为等比数列。18、两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列。
19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
、、仍为等比数列。
20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3
24、为等差数列,则
(c0)是等比数列。25、(bn0)是等比数列,则
(c0且c 1) 是等差数列。四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
26、分组法求数列的和:如an=2n+3n
27、错位相减法求和:如an=(2n-1)2n
28、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
29、倒序相加法求和:
30、求数列的最大、最小项的方法:
① an+1-an= 如an= -2n2+29n-3
② an=f(n) 研究函数f(n)的增减性
31、在等差数列
中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解:(1)当 0时,满足 的项数m使得 取最大值.
(2)当 0时,满足 的项数m使得 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
以上就是高二数学学习:高二数学数列的所有内容,希望对大家有所帮助!
高二数学教学工作计划4
一、学情分析
高二某班共有学生73人, 8班共有学生70人。两个班级都是高二理科班的三类班,大部分学生基础不扎实,学习兴趣不高,甚至很多学生存在怕数学科的心理。但他们还是存在一颗想学好数学的心,也想融入变化多端的数学世界,更想在每次考试中独领风骚,鉴于此,对他们正确引导,教学中适当调整难度,起点放低点,步子迈小点,还是会有好成绩的。
二、教学计划
1、加强自身学习。
①加强课本的研读。教科书是一切教学的出发点,同时也是考试的归属地,任何一个数学知识点都会从教科书中找到类型题或者相似题或者其影子。对教科书能否吃透,专研到位,直接决定着教学知识的全面性和系统性。也就决定着研读教材的必要性。
②他山之石,可以攻玉。一个人由于生活的环境,面对的对象,自身知识局限等多方面原因,视野和出发点都有局限,思考问题和解决问题的广度和深度都有局限,因此,多阅读教学参考类的书,吸取他人的经验,借鉴他人所长弥补自己所短,对于增强教学的针对性和精彩性大有裨益。
③强化课改意识。新课改已经全面铺开,新课改的精神和思想都独具时代性,前瞻性,科学性,因此,加强新课改知识的学习,领悟新课改思想,增强新课改意识,是时代的需要,是发展的需要。因此,积极参与新课改培训,领会新课改精髓,并应用于实践中是当前必须要做的,只有这样,才能使自己的知识新陈代谢。
④认真参与组内备课。珍惜每周一次的集体备课,充分利用好这次集体备课机会,从同行们那里学习到自己缺乏或者不擅长的东西,并积极实施好组内的各项安排,落实好课时要求。
⑤增强听课意识。按照学校的要求,积极参加新课改年级的课堂听课活动,听取授课教师的点评,发现亮点,记录亮点,积累亮点,点亮亮点。
2、抓好课堂教学主战场,激发师生学习数学热情。
①加强新课情景创设,激发学生学习热情。每一节新课的开展,都有其现实意义,有其价值所在,有其趣味性,充分挖掘好这方面知识,可起到一个良好的开端作用。
②精选精讲例题。对于学生自己学得会的,不讲,对于学生讨论后可以解决的,给以适当点拨,对于学生在教师引导下完成的,要慢慢讲,细细的讲,争取每个学生都听得进,听得懂,学得会。对于超越学生承受能力的,一概不讲。
③精心布置课后作业。课后作业是课堂教学的反馈,作业质量的高低,一定层面可以反映教学效果的高低,因此,作业的布置需要科学化,分层化,多样化,且知识点具有全面性。
3、做好课后辅导工作。
①利用晚自习,充分给以每个学生耐心、细心、全面的辅导。让学生积累的问题得到彻底解决。
②利用自习课时间,寻找需要帮助的学生进行辅导,公式背不出来的,抓背公式,不交作业的,责令补交作业。
4、做好作业、考试反馈工作。
学生认真完成作业和考卷,教师进行批改,总结共性问题,发现个性问题,有针对性的给以反馈,及时消除困惑。
5、规范作答,养成良好习惯。
现在学生的数学答卷,条理不清晰,逻辑混乱,因果颠倒,这是基础不扎实的表现,更是一种思维的缺陷。因此,现阶段抓好规范答题,有助于学生良好数学思维的养成,避免将来高考失分和日后生活的凌乱。
6、提高学生的数学兴趣,普及数学价值规律的应用。
兴趣是最好的教师。数学难,数学烦,难在何处,烦在何方?找到原因,对症下药,通过课堂,移植中外数学趣味知识,让学生体会到数学的价值所在,通过多媒体,降低数学思维难度等等都是提高学生兴趣的好方法。
以上是这个学期的教学工作计划,在实施过程中,将及时作出调整,以期达到教与学的最佳效果。
高二数学教学工作计划5
一、教学内容与内容解析
1.内容:
统计,简单随机抽样,抽签法,随机数表法。
2.内容解析:
本节课是人教版《高中数学》第三册(选修Ⅱ)的第一章“概率与统计”中的“抽样方法”的第一课时:简单随机抽样.其主要内容是介绍简单随机抽样的概念以及如何实施简单随机抽样.数理统计学包括两类问题,一类是如何从总体中抽取样本,另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析,对总体的情况作出一种推断.可见,抽样方法是数理统计学中的重要内容.简单随机抽样作为一种简单的抽样方法,又在其中处于一种非常重要的地位.因此它对于学习后面的其它较复杂的抽样方法奠定了基础,同时它强化对概率性质的理解,加深了对概率公式的运用.因此它起到了承上启下的作用,在教材中占有重要地位.
本节课是在学生初中已学习了统计初步知识的基础上,系统学习统计的基本方法,体验统计思想的第一课时.本节课通过结合具体的实际问题情景,使学生认识到随机抽样的必要性和重要性,进而分析得到简单随机抽样的定义、常用实施方法.这些活动的实施就是想引导学生从现实生活或其它学科中提出具有一定价值的统计问题,初步形成运用统计的思想和方法(用数据说话)来思考问题和解决问题的习惯.。
本课题为“简单随机抽样”,主要学习简单随机抽样的理论与方法.从理论上讲,“简单”是指抽取的样本为“简单随机样本”,获取简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.简单随机抽样要满足以下两个条件:(1)代表性,即要求样本的每个分量Xi与所考察的总体X具有相同的概率分布F(X);(2)独立性,X1,X2,…,Xn为相互独立的随机变量,也就是说,每个观察结果不影响其它观察结果,也不受其它观察结果的影响.当然在有限总体中,样本的各个观察结果可以是不独立的.在本节课中,要将这些关于随机抽样的理论,用浅显的例子渗透在学生的学习过程中.因此,教学的内容应侧重于如何使抽取的数据能代表总体,即抽取的样本要能反映总体的本质特征.要抓住两个特征展开,要求抽取的样本有代表性,样本的容量要适当,太大没有必要,太小不能反映总体的特征.其次,要体现独立性,在简单随机抽取时,总体中每个个体被抽到的概率是相等的,说明这种抽样的方法是独立的.抽取的样本的分布与总体分布相似度越高,样本的代表就越大.这就为后续学习三种抽样方法的形成与评价提供基础.
从知识的应用价值来看,重视数学知识的应用和关注人文内涵是新教材的显著特点.丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活,体验生活即数学的理念,体验用算法思想解决模式化问题的作用,有助于学生对统计思想和方法的掌握,增加学生的感性认识.。
二、教学目标与目标解析
1.目标:
(1)通过实例,了解学习统计的意义,了解统计学的基本内容和方法.
(2)通过实例,了解随机抽样的必要性.
(3)理解随机抽样的概念.这里随机抽样的概念在初中阶段学生已经学习过,但在此处学习正是体现知识的螺旋上升,这里提出的总体、个体和样本的概念应该更加理性.
(4)通过实例分析随机抽样应满足的基本条件.作为教师要明确学习随机抽样的主要目的是用样本估计总体,要使所抽取的样本能估计总体,抽取数据的方法要根据对数据的要求而定,方法应该是量身定做的.
(5)体会简单随机抽样的方法.教学过程应该充分体现学生的主体作用,不囿于教材顺序的限定,结合学生已有的知识结构,充分展示学生的学习经验和能力.
2.目标解析:
教学目标(3)和(4)是本节课的教学重点也是难点。我们要建立一种数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。借助学生已有生活常识,形成推理的直观认识;让学生通过自己动手体验数学的一种基本思维过程,经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。
教学目标(5)是学生初学时不易达到的目标,教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例,是学生体会解决问题时应该关注的要点,体会简单随机抽样的方法.应用简单随机抽样的方法。
三、教学问题诊断分析
教学重点、难点
重点:简单随机抽样的定义,抽样方法,各种方法适用情况,及对比
难点:简单随机抽样中的等可能性及简单随机抽样的特点,随机数表法应用。
本节课是学生在义教阶段学习了数据的收集、抽样、总体、个体、样本等统计概念以后,进一步学习统计知识的.这是义教阶段统计知识的发展,因此教学过程不应是一种简单的重复,也不应停留在对普查与抽样优劣的比较和方法的选择,而应该发展到对抽样进一步思考上,主要应集中的以下四个问题上:(1)为什么要进行随机抽样;(2)什么是随机抽样(数理统计上的随机抽样概念);(3)简单随机抽样应满足什么样的条件;(4)如何进行简单随机抽样.教学的重点是使学生关注数据收集的方法应该由目的与要求所决定的,任何数据的收集都有一定的目的,数据的抽取是随机的.要更加理性地看待数据收集的方法,要从随机现象本身的规律性来看待数据收集的方法.特别是要突出简单随机样本的两个特征.要改变学生仅从形式上来理解简单随机抽样的问题.在教学中学生可能会产生随机抽样中简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的雏形,教师不必进一步明确界定概念,可待后续的学习中进一步完善.
如何发现随机抽样的公平性,也就是“如何去观察,才能发现规律”。学生可以很顺利地得到几个事实,但是如何去观察,这是学生学习时遇到的第一个教学问题。也是本节课的教学难点之一。教学时,应通过实例,帮助学生总结出观察一定要有目标,并用具体问题让学生练习进行体会。
四、教学支持条件
本节课教学支持条件首先是学生已经学习过随机抽样的概念,因此教学可以在此基础上展开.教材例题的选取都来自于学生的生活经验,便于学生理解.可以通过投影和计算机,扩展学生收集数据的方法.基于本节课内容的特点和学生的心理及思维发展的特征,在教学中选择问题引导、事例讨论和归纳总结相结合的教学方法.与学生建立平等融洽的互动关系,营造合作交流的学习氛围.在引导学生进行观察、分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示,增强直观性,提高教学效率,激发学生的学习兴趣.
五、教学过程设计
六、目标检测设计
(1)利用随机数表法从40件产品中抽取10件检查。
(2)分小组进行社会问题的实际调查,题目自拟。
(设计意图:通过训练,巩固本课所学知识,检测运用所学知识解决问题的能力;实习作业的设置为了教会学生怎样利用资料进行数学学习,同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台。这是本节内容的一个提高与拓展。)
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