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4.8  正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)

(一)教学具准备

直尺、圆规、投影仪.

(二)教学目标 

1.了解作正、余弦函数图像的四种常见办法.

2.掌握五点作图法,并会用此办法作出 上的正弦曲线、余弦曲线.

3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像.

(三)教学过程 (可用课件辅助教学)

1.设置情境

引进弧度制以后, 就可以看做是定义域为 的实变量函数.作为函数,我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的办法.

2.探索研究

(1)复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下啥叫正弦线?啥叫余弦线?(师画图1)

设任意角 的终边与单位圆相交于点 ,过点作 轴的垂线,垂足为 ,则有向线段 叫做角 的正弦线,有向线段 叫做角 的余弦线.

(2)在直角坐标系中怎样作点

由单位圆中的正弦线知识,我们只要已知一个角 的大小,就能用几何办法作出对应的正弦值 的大小来,请同学们思考一下,怎样用几何办法在直角坐标系中作出点 ?

教师引导学生用图2的办法画出点 .

我们能否借助上面作点 的办法在直角坐标系中作出正弦函数 , 的图像呢?

 ①用几何办法作 , 的图像

我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结;如果我们用列表法得出各点的坐标,就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一不足,我们用前面作点 的几何办法来描点,进而使图像的精确度有了提高.

(边画图边讲解),我们先作 在 上的图像,具体分为如下五个步骤:

a.作直角坐标系,并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆.

b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作 轴的垂线,可以得到对应于0, , , ,…, 角的正弦线.

c.找横坐标:把 轴上从0到 ( )这一段分成12等分.

d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点.

e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得 , 的图像.

②作正弦曲线 , 的图像.

图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数 , , 且 的图像与函数 , 的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数 , 的图像向左、右平移(每次 个单位长度),就可以得到正弦函数数 , 的图像,如图1.

正弦函数 , 的图像叫做正弦曲线.

③五点法作 , 的简图

师:在作正弦函数 , 的图像时,我们描述了12个点,但其中起关键作用的是函数 , 与 轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗?

生:(0,0), , , ,

师:事实上,只要指出这五个点, , 的图像的形状就基本确定了,以后我们常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作图的办法称为“五点法”作图.

④用变换法作余弦函数 , 的图像

因为 ,所以 , 与 是同一个函数,即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个长度单位角得到,余弦函数的图像叫做余弦曲线,如图2,师:请同学们说出在函数 , 的图像上,起关键作用的五个点的坐标.

生:(0,1), , , ,

3.例题分析

【例1】画出下列函数的简图:

(1) , ;

(2) , .

解:(1)按五个关键点列表

0

0

1

0

-1

0

1

2

1

0

1

利用五点法作出简图3

师:请说出函数 与 的图像之间有何联系?

生:函数 , 的图像可由 , 的图像向上平移1个单位得到.

(2)按五个关键点列表

0

 

 

 

1

0

-1

0

1

 

-1

0

1

0

-1

利用五点法作出简图4

师: , 与 , 的图像有何联系?

生:它们的图像关于 轴对称.

练习:

(1)说出 , 的单调区间;

(2)说出 , 的奇偶性.

参考答案:(1)由 , 图像知、 , 为其单调递增区间, 为其单调递减区间

(2)由 , 图像知 是偶函数.

4.总结提炼

(1)本课简介了四种作 , 图像的办法,其中五点作图法最常用,要牢记五个关键点的选取特点.

(2)用平移诱变法,由 这不是新问题,在函数一章学习平移作图时,就使用过,请同学们作比较.应该说明的是由 平移量是不惟一的,方向也可左可右.

5.演练反馈,(投影)

(1)在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列函数的图像

① , ② ,

(2)观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 的区间.

① , ② , ③ , ④

(3)画出下列函数的简图

① ,   ② ,   ③ ,

参考答案:

(1)

(2)① , ,   ② 、 ,

③    ④

(3)

(五)板书设计 

课题

1.正、余弦函数线

2.作点

3.作 , 的图像

4.五点法作正弦函数图像

 

5.变换法作 的图像

6.五点法作余弦函数图像

7.例题

(1)

(2)

演练反馈

总结提炼

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